Công thức tính diện tích hình Elip

Thứ sáu - 20/02/2026 19:43

Công thức tính diện tích hình Elip là một trong những kiến thức toán học cơ bản mà các bạn sẽ phải sử dụng trong quá trình học tập và làm việc của mình. Cùng tìm hiểu về cách tính diện tích hình Elip trong bài viết dưới đây để có thể áp dụng khi cần thiết nhé.

A. Hình Elip

Hình Elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Đường tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau.

Hình Elip

Hình elip có hai trục đối xứng (A1A2; B1B2 trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn A1A2 và nhỏ B1B2. Nửa chiều dài của các trục này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm elip đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).

Như vậy ta có:

A1;A2;B1;B2 là các đỉnh của hình elip (E).

2a là độ dài trục lớn A1A2.

2b là độ dài trục nhỏ B1B2.

2c = F1F2 là tiêu cự của (E).

Công thức tính diện tích hình Elip

Hình vẽ minh họa:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho elip có phương trình $'\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} = 1;0 < b < a'$ , ta có diện tích hình Elip được xác định bởi công thức:

S = π.a.b

π là hằng số toán học có giá trị π = 3.14159265359

Do đó, khi biết được độ dài trục lớn và trục nhỏ, bạn dễ dàng tính ra diện tích của hình Elip khi áp dụng công thức trên.

Sơ đồ tư duy công thức Elip

B. Bài tập minh họa tính diện tích hình Elip

Bài tập 1. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và có độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng

C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ với 2a = 16; 2b = 10

Suy ra a = 8; b = 5

Khi đó phương trình elip là: $'\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1'$

Xét đường cong nằm phía trên trục Ox có phương trình là: $y = 25\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}$

Ta có: $'S = 5.\int_{- 4}^{4}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}'$ . Đặt $'\sin t = \frac{x}{8};\left( t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack \right)'$ suy ra $'\cos tdt = \frac{1}{8}dt'$

Đổi cận

$'x = - 4 \Rightarrow \sin t = \frac{- 1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6}'$

$'x = 4 \Rightarrow \sin t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}'$

$'S = 5.\int_{\frac{- \pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{1 - sin^{2}t}.8costdt} = 40.\int_{\frac{- \pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{cos^{2}tdt}'$

$'= 20.\int_{\frac{- \pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{(1 + cos2t)dt} = \left. \ 5\left( t + \frac{sin2t}{2} \right) \right|_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{20\pi}{3} + 10\sqrt{3}'$

Vậy diện tích trồng hoa là: $'S_{T} = 2S = \frac{40\pi}{3} + 20\sqrt{3}\left( m^{2} \right)'$

Do đó số tiền ông An cần để trồng hoa là: $T = S_{t}.100000 \approx 7653000$ .

Bài tập 2. Một sân chơi dành riêng cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng 30m, người ta làm một con đường trong sân (như hình vẽ).

Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí để làm mỗi 2 m làm đường 500.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó (số tiền làm tròn đến hàng nghìn)

Hướng dẫn giải

Đường elip phía ngoài có phương trình $'\frac{x^{2}}{25^{2}} + \frac{y^{2}}{15^{2}} = 1'$ và có diện tích $'S_{1} = \pi.25.15'$

Đường elip phía trong có phương trình $'\frac{x^{2}}{23^{2}} + \frac{y^{2}}{13^{2}} = 1'$ và có diện tích $'S_{2} = \pi.23.13'$

Diện tích mặt đường $'S = S_{1} - S_{2}'$

Do đó kinh phí để làm đường là: $'T = \left( S_{1} - S_{2} \right).500000 = 119320000'$ đồng.

Bài tập 3: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn $28\ cm$ , trục nhỏ $25\ cm$ . Biết cứ $1000\ cm^{3}$ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá $20000$ đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.

A. $183259$ đồng B. $152348$ đồng

C. $167584$ đồng D. $177946$ đồng

Hướng dẫn giải

Đường elip có trục lớn $28\ cm$ , trục nhỏ $25\ cm$ có phương trình:

$'\frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( \frac{25}{2} \right)^{2}} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = \left( \frac{25}{2} \right)^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right) \Leftrightarrow y = \pm \frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}}'$ .

Do đó thể tích quả dưa là

$'V = \pi\int_{- 14}^{14}{\left( \frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2}dx} = \pi\left( \frac{25}{2} \right)^{2}\int_{- 14}^{14}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right)^{2}dx}'$

$= \pi\left( \frac{25}{2}\right)^{2}.\left. \ \left( x - \frac{x^3}{3.14^{2}} \right)\right|_{- 14}^{14} = \pi\left( \frac{25}{2} \right)^{2}.\frac{56}{3} =\frac{8750\pi}{3}\ cm^{3}$ .

Do đó tiền bán nước thu được là $'\frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259'$ đồng.

-------------------------------------------------------

Hy vọng, qua bài viết trên các bạn sẽ nắm rõ được công thức tính diện tích hình Elip. Các bạn có thể tham khảo thêm loạt bài công thức tính diện tích tam giác, công thức tính chu vi hình tròn, công thức tính diện tích hình thang và một loạt hình khác nhé.

Nguồn tin: Quantrimang.com